Równania różniczkowe zwyczajne Równania różniczkowe pierwszego rzędu 1.1.Terminologia i równania o zmiennych rozdzielonych 1.1.1.Rozwiązania osobliwe 1.1.2.Pewne zastosowania równań o zmiennych rozdzielonych 1.2.Równanie liniowe pierwszego rzędu 1.3.Równania zupełne 1.4.Równania jednorodne, Bernoulliego i Riccatiego 1.4.1.Równanie różniczkowe jednorodne 1.4.2.Równanie Bernoulliego 1.4.3.Równanie Riccatiego Równania różniczkowe drugiego rzędu 2.1.Równanie liniowe drugiego rzędu 2.2.Równanie jednorodne o stałych współczynnikach 2.3.Szczególne rozwiązania równania niejednorodnego 2.3.1.Metoda uzmienniana stałych 2.3.2.Metoda przewidywań 2.4.Równanie różniczkowe Eulera 2.5.Rozwiązania w postaci szeregów 2.5.1.Rozwiązania w postaci szeregów potęgowych 2.5.2.Rozwiązania Frobeniusa Transformacja Laplace'a 3.1.Definicja i terminologia 3.2.Rozwiązanie zadań wartości początkowej 3.3.Funkcja Heaviside*a i twierdzenia o przesunięciu 3.3.1.Pierwsze twierdzenie o przesunięciu 3.3.2.Funkcja Heaviside'a. impulsy i drugie twierdzenie o przesunięciu 3.3.3.Wzór Heaviside'a 3.4.Splot 3.5.Impulsy i funkcja delta Diraca 3.6.Układy równań różniczkowych liniowych Problemy Sturma-Liouville'a rozwinięcia względem funkcji własnych 4.1.Wartości własne, funkcje własne i zagadnienia Sturma-Liouville'a 4.2.Rozwinięcie względem funkcji własnych 4.2.1. Własności współczynników 4.3.Szeregi Fouriera 4.3.1.Szeregi Fouriera na [-L, L] 4.3.2.Szeregi cosinusów Fouriera na [0, L] 4.3.3.Szereg sinusów Fouriera na [0, L] Równania różniczkowe cząstkowe Równanie ciepła 5.1.Problemy dyfuzji w medium ograniczonym 5.1.1.Końce utrzymywane w zerowej temperaturze 5.1.2.Izolowane końce 5.1.3.Jeden promieniujący koniec 5.1.4.Niejednorodne warunki brzegowe 5.1.5.Uwzględnienie konwekcji i innych efektów 5.2.Równanie cieplne z elementem wymuszającym F(x,t) 5.3.Równanie ciepła na osi rzeczywistej 5.3.1. Przeformułowanie rozwiązania na prostej 5.4.Równanie ciepła na półprostej 5.4.1. Kontrowersje dotyczące wieku Ziemi 5.5.Dwuwymiarowe równanie ciepła Równanie falowe 6.1. Ruch falowy na ograniczonym przedziale 6.1.1.Wpływ c na przemieszczenie 6.1.2.Ruch falowy z wymuszeniem F(x) 6.2.Ruch falowy w nieograniczonym ośrodku 6.2.1.Równanie falowe na prostej 6.2.2.Równanie falowe na półprostej 6.3.Rozwiązania d"Alamberta i charakterystyki 6.4.Równanie falowe z wymuszeniem K(x,t) 6.5.Równanie falowe w wyższych wymiarach Równanie Laplace'a 7.1.Zagadnienie Dirichleta dla prostokąta 7.2.Zagadnienie Dirichleta na kole 7.3.Wzór całkowy Poissona 7.4.Zagadnienie Dirichleta w obszarze nieograniczonym 7.5.Trójwymiarowe zagadnienie Dirichleta 7.6.Zagadnienie Neumanna 7.6.1.Zagadnienie Neumanna dla prostokąta 7.6.2.Zagadnienie Neumanna dla koła 7.6.3.Zagadnienie Neumanna dla górnej półpłaszczyzny 7.7.Równanie Poissona Funkcje specjalne i zastosowania 8.1.Wielomiany Legendre'a 8.1.1.Funkcje tworzące 8.1.2.Relacja rekurencji 8.1.3.Wzór Rodriguesa 8.1.4.Rozwinięcia Fouriera-Legendre'a 8.1*5. Zera wielomianów Legendre'a 8.1.6.Rozkład naładowanych cząstek 8.1.7.Temperatura w stanie ustalonym w kuli 8.2.Funkcje Bessela 8.2.1.Funkcja tworząca dla J„(x) 8.2.2.Zależności rekurencyjne 8.2.3.Zera 8.2.4.Rozwinięcia względem funkcji własnych Fouriera-Bessela 8.3.Niektóre zastosowania funkcji Bessela 8.3.1.Drgania membrany kołowej 8.3.2.Dyfuzja w nieskończonym jednorodnym walcu 8.3.3.Oscylacje w wiszącym sznurze 8.3.4.Krytyczna długość pręta Metody przekształceń całkowych 9.1.Metody transformaty Laplace'a 9.1.1.Wymuszony ruch falowy na półprostej 9.1.2.Dystrybucja temperatury w nieograniczonym pręcie 9.1.3.Nieograniczony pręt z nieciągłą temperaturą na jednym końcu 9.1.4.Drgania pręta sprężystego 9.2.Metody transformaty Fouriera 9.2.1.Równanie ciepła na prostej rzeczywistej 9.2.2.Zagadnienie Dirichleta dla górnej półpłaszczyzny 9.3.Metody przekształcenia sinusowego i cosinusowego Fouriera 9.3.1. Zagadnienie falowe na półprostej Macierze i Algebra liniowa Wektory i przestrzeń wektorowa Rn 10.1.Wektory w płaszczyźnie i przestrzeni trójwymiarowej 10.1.1. Równanie prostej w przestrzeni trójwymiarowej 10.2.Iloczyn skalarny 10.2.1.Równanie płaszczyzny 10.2.2.Rzutowanie jednego wektora na drugi 10.3.Iloczyn wektorowy 10.4.Wektory w przestrzeni R" i struktura algebraiczna R" 10.5.Zbiory ortogonalne i ortogonalizacja 10.6.Uzupełnienia ortogonalne i rzutowanie Macierze, wyznaczniki, układy liniowe 11.1.Wyznaczniki i algebra macierzy 11.1.1.Terminologia i macierze specjalne 11.1.2.Inne spojrzenie na mnożenie macierzy 11.1.3.Zastosowanie do błądzenia losowego w kryształach 11.2.Operacje na wierszach i macierze zredukowane 11.3.Rozwiązywanie jednorodnych układów liniowych 11.4.Rozwiązywanie niejednorodnych układów liniowych 11.5.Macierze odwrotne 11.6.Wyznaczniki 11.6.1. Rozwijanie względem wierszy i kolumn 11.7.Reguła Cramera 11.8. Twierdzenie macierzowe o drzewach Wartrości własne,diagonalizacja, macierze specjalne 12.1.Wartości własne i wektory własne 12.1.1.Liniowa niezależność wektorów własnych 12.1.2.Okręgi Gerszgorina 12.2.Diagonalizacja 12.3.Macierze specjalne oraz ich wartości własne i wektory własne 12.3.1.Macierze symetryczne 12.3.2.Macierze ortogonalne 12.3.3.Macierze unitarne 12.3.4.Macierze hermitowskie i skośno-hermitowskie 12.4.Formy kwadratowe Układy równań różniczkowych Układy równań różniczkowych liniowych 13.1.Układy liniowe 13.1.1.Struktura rozwiązań równania X'= AX 13.1.2.Struktura rozwiązań równania X'= AX + G 13.2.Rozwiązanie X'= AX, gdy A jest stałe 13.2.1. Przypadek zespolonych wartości własnych 13.3.Rozwiązanie z użyciem eksponenta macierzy 13.4.Rozwiązanie X'= AX + G dla stałej A 13.4.1.Uzmiennianie stałych 13.4.2.Rozwiązania przez diagonalizację Systemy nieliniowe i analiza jakościowa 14.1.Układy nieliniowe i diagramy/ portery fazowe 14.1.1. Portrety fazowe jednorodnych układów liniowych 14.2.Punkty krytyczne i stabilność 14.3.Układy prawie-liniowe 14.4.Linearyzacja Analiza wektorowa Wektorowy rachunek różniczkowy 15.1. Funkcje wektorowe jednej zmiennej 15.2.Prędkość, przyspieszenie i krzywizna 15.3.Gradient pola 15.3.1. Poziomice, płaszczyzny styczne i proste normalne 15.4.Dywergencja i rotacja 15.4.1.Fizyczna interpretacja dywergencji 15.4.2.Fizyczna interpretacja rotacji 15.5.Opływy pola wektorowego Wektorowy rachunek całkowy 16.1.Całki krzywoliniowe 16.1.1. Całkowanie względem łuku krzywej 16.2.Twierdzenie Greena 16.2.1. Uogólnienie twierdzenia Greena 16.3.Niezależność od drogi i teoria potencjału 16.4.Całki powierzchniowe 16.4.1.Wektor normalny do powierzchni 16.4.2.Całka powierzchniowa pola skalarnego 16.5.Zastosowania całek powierzchniowych 16.5.1.Pole powierzchni 16.5.2.Masa i środek masy powłoki 16.5.3.Strumień płynu przez powierzchnię 16.6.Twierdzenie Gaussa o dywergencji 16.6.1.Prawo Archimedesa 16.6.2.Równanie ciepła 16.7.Twierdzenie Stokesa 16.7.1. Teoria potencjału w przestrzeni trójwymiarowe Analiza Fouriera Szeregi Fouriera 17.1.Szereg Fouriera na [-L, L] 17.1.1.Szeregi Fouriera funkcji parzystych i nieparzystych 17.1.2.Zjawisko Gibbsa 17.2.Szeregi sinusowe i cosinusowe 17.3.Całkowanie i różniczkowanie szeregów Fouriera 17.4.Własności współczynników Fouriera 17.4.1. Optymalizacja metodą najmniejszych kwadratów 17.5.Postać fazowa 17.6.Zespolony szereg Fouriera 17.7.Filtrowanie sygnałów Transformata Fouriera 18.1.Transformata Fouriera 18.1.1.Filtrowanie i funkcja delta Diraca 18.1.2.Okienkowane przekształcenia Fouriera 18.1.3.Twierdzenie Shannona o próbkowaniu 18.1.4.Filtry dolnoprzepustowe i pasmowoprzepustowe 18.2.Transformaty cosinusowe i sinusowe Fouriera Funkcje zespolone Liczby zespolone i funkcje zespolone 19.1. Geometria i arytmetyka liczb zespolonych 19.1.1.Liczby zespolone 19.1.2.Płaszczyzna zespolona, moduł, sprzężenia i postać biegunowa 19.1.3.Sposób porządkowania liczb zespolonych 19.1.4.Nierówności 19.1.5.Koła, zbiory otwarte i zbiory domknięte 19.2.. Funkcje zespolone 19.2.1.Granice, ciągłość i różniczkowalność 19.2.2.Równania Cauchy'ego-Riemanna 19.3.Funkcje wykładnicze i trygonometryczne 19.3.1.Funkcja wykładnicza 19.3.2.Funkcje cosinus i sinus 19.4.Logarytm zespolony 19.5.Potęgi 19.5.1.Pierwiastki n-tego stopnia 19.5.2.Potęgi wymierne 19.5. Potęgi zw Całkowanie w płaszczyźnie zespolonej 20.1.Całka z funkcji zespolonej 20.2.Twierdzenie Cauchy'ego 20.3.Konsekwencje twierdzenia Cauchy'ego 20.3.1.Niezależność drogi 20.3.2.Twierdzenie o deformacji 20.3.3.Wzór całkowy Cauchy'ego 20.3.4.Własności funkcji harmonicznych 20.3.5.Oszacowanie pochodnych 20.3.6.Rozszerzone twierdzenie o deformacji Funkcje w postaci szeregów 21.1.Szeregi potęgowe 21.1.1.Funkcje pierwotne funkcji różniczkowalnych 21.1.2.Zera funkcji Osobliwości i twierdzenie o residuach 22.1.Klasyfikacja osobliwości 22.2.Twierdzenie o residuach 22.3.Wyznaczanie całek rzeczywistych 22.3.1.Funkcje wymierne 22.3.2.Funkcje wymierne pomnożone przez cosinus lub sinus 22.3.3.Funkcje wymierne cosinusa i sinusa Odwzorowania konforemne 23.1.Idea odwzorowania konforemnego 23.1.1.Przekształcenia biliniowe 23.1.2.Sfera Riemanna 23.2.Konstrukcja odwzorowań konforemnych 23.2.1. Przekształcenie Schwarza-Christoffela