I. Fundamenty Rozdział 1. Czym zajmują się metody numeryczne? 1.1.Zadanie obliczeniowe 1.2.Cel metod numerycznych Rozdział 2. Oprogramowanie dla obliczeń numerycznych 2.1.MATLAB i GNU Octave 2.1.1.Podstawy 2.1.2.Pierwsze obliczenia 2.1.3.Skrypty i funkcje 2.2.Julia 2.3.Python: moduły NumPy i SciPy Rozdział 3. Komputer i obliczenia na liczbach rzeczywistych 3.1.Zapis zmiennopozycyjny liczb rzeczywistych 3.2.Standard arytmetyki zmiennopozycyjnej IEEE 754 3.2.1.Liczby maszynowe 3.2.2.Operacje arytmetyczne 3.2.3.Różnice między arytmetyką dokładną a arytmetyką fl 3.2.4.Formaty liczb maszynowych nieobjęte standardem IEEE 754 3.3.Komputer 3.3.1.Procesor 3.3.2.Pamięć 3.4.Różnicowa aproksymacja pochodnej Rozdział 4. Błędy w zadaniach obliczeniowych 4.1.Błąd bezwzględny i błąd względny 4.2.Uwarunkowanie zadania 4.3.Błąd i uwarunkowanie zadania po składowych 4.4.Uwarunkowanie złożenia 4.5.Czułość układu elektrycznego na zmianę parametrów Rozdział 5. Jakość algorytmów numerycznych 5.1.Algorytm numeryczny 5.2.Błąd w przód i błąd wstecz 5.3.Koszt obliczeniowy i pamięciowy algorytmu 5.3.1.Złożoność obliczeniowa zadania 5.3.2.Koszt algorytmów rekurencyjnych 5.3.3.Ograniczenia używanego modelu kosztu obliczeń 5.4.Zachowanie się algorytmu w arytmetyce fi 5.4.1.Numeryczna poprawność 5.4.2.Numeryczna stabilność II. Algebra liniowa Rozdział 6. Metody bezpośrednie dla układów równań liniowych 6.1.Jak tego n/t robić? 6.2.Proste układy równań liniowych 6.2.1.Układ z macierzą trójkątną 6.2.2.Układ z macierzą ortogonalną 6.3.Rozkłady macierzy 6.3.1.Rozkład LU 6.3.2.Rozkład LU z osiowaniem 6.3.3.Rozkład QR 6.4.Rozkłady macierzy specjalnych 6.4.1.Macierz trójdiagonalna 6.4.2.Macierz symetryczna i dodatnio określona 6.5.Uwarunkowanie układu równań liniowych 6.6.Reszta, a błąd rozwiązania 6.7.Numeryczna poprawność algorytmów opartych na rozkładach 6.7.1.Rozkład QR 6.7.2.Rozkład LU 6.8.Software 6.9.Po awarii nad rzeką Rozdział 7. Liniowe zadanie najmniejszych kwadratów 7.1.Proste zadanie najmniejszych kwadratów 7.2.Rozwiązywanie LZNK przez rozkład QR 7.3.Metoda Householdera 7.3.1.Wyznaczenie rozkładu QR metodą Householdera 7.3.2.Koszt rozkładu QR metodą Householdera 7.4.Sprowadzenie LZNK do układu równań normalnych 7.5.Uwarunkowanie LZNK 7.6.Reszta, a błąd rozwiązania 7.7.Panorama Rozdział 8. Symetryczne zagadnienie własne 8.1.Wyznaczanie pojedynczej pary własnej 8.1.1.Metoda potęgowa 8.1.2.Iloraz Rayleigha 8.1.3.Transformacje widma 8.1.4.Odwrotna metoda potęgowa 8.1.5.Odwrotna metoda potęgowa z przesunięciem 8.2.Uwarunkowanie wartości własnych 8.3.Reszta, a błąd wstecz 8.4.Kryteria stopu 8.5.Pełne zagadnienie własne 8.5.1.Sprowadzenie macierzy do prostszej postaci 8.5.2.Metoda „dziel i rządź" dla trójdiagonalnej macierzy symetrycznej 8.5.3.Wyznaczanie wektorów i wartości własnych modyfikacji rzędu jeden macierzy diagonalnej 8.5.4.Metoda QR 8.6.Lokalizacja wartości własnych 8.7.Jak zmienił się cały świat Rozdział 9. Rozkład SVD 9.1. Własności 9.2.Przykłady zastosowań 9.2.1. Nieregularne liniowe zadanie najmniejszych kwadratów 9.3.Wyznaczanie rozkładu SVD 9.3.1.Sprowadzenie do postaci dwudiagonalnej 9.3.2.Metoda „dziel i rządź" dla macierzy dwudiagonalnej 9.4.PCA na przykładzie LSA Rozdział 10. Metody iteracyjne dla układów równań liniowych 10.1.Macierze rozrzedzone 10.1.1. Reprezentacja macierzy rozrzedzonych 10.2.Metody iteracyjne oparte na rozszczepieniu macierzy 10.2.1. Klasyczne metody rozszczepienia 10.3.Metody przestrzeni Krylowa 10.3.1.Metoda CG (sprzężonych gradientów) 10.3.2.Metoda GMRES 10.4.Ściskanie macierzy 10.4.1.Proste operatory ściskające 10.4.2.Ściskanie dla CG: metoda PCG 10.5.Kryteria stopu metod iteracyjnych 10.6.Miejska sieć gazowa III. Aproksymacja funkcji i zadania pokrewne Rozdział 11. Aproksymacja wielomianami 11.1.Istnienie elementu najlepszej aproksymacji 11.2.Najlepsza aproksymacja średniokwadratowa 11.2.1.Uwarunkowanie zadania najlepszej aproksymacji średniokwadratowej 11.2.2.Wyznaczanie wielomianu najlepszej aproksymacji średniokwadratowej 11.2.3.Wielomiany ortogonalne 11.2.4.Przypadek dyskretnej aproksymacji średniokwadratowej 11.3.Najlepsza aproksymacja jednostajna 11.3.1.Charakteryzacja wielomianu najlepszej aproksymacji jednostajnej przez alternans 11.3.2.Wyznaczenie wielomianu aproksymacji jednostajnej 11.3.3.Wielomiany Czebyszewa i ich własności 11.4.Interpolacja Lagrange'a 11.4.1.Algorytm różnic dzielonych 11.4.2.Błąd interpolacji 11.4.3.Najlepsza aproksymacja jednostajna, a interpolacja 11.4.4.Uwarunkowanie zadania interpolacji 11.5.Wielomianowy wytrych Rozdział 12. Aproksymacja splajnami 12.1.Splajn, czyli funkcja sklejana z wielomianów 12.1.1. Reprezentacja splajnu w postaci PP 12.2.Reprezentacja splajnu w B-bazie 12.2.1.Własności B-splajnów 12.2.2.Algorytm de Boora 12.3.Interpolacja splajnowa 12.3.1.Interpolacja splajnem liniowym 12.3.2.Interpolacja splajnem kubicznym 12.3.3.Optymalność splajnów interpolacyjnych 12.4.Splajnowa aproksymacja średniokwadratowa 12.4.1. Przypadek dyskretnej aproksymacji średniokwadratowej 12.5.Galeria aproksymacji Rozdział 13. Całkowanie 13.1.Proste kwadratury interpolacyjne 13.1.1.Błąd kwadratur interpolacyjnych 13.1.2.Kwadratury Gaussa 13.2.Kwadratury złożone 13.2.1.Błąd kwadratur złożonych 13.2.2.Kwadratury Romberga 13.3.Uwarunkowanie zadania całkowania 13.4.Jak często brać tabletkę? Rozdział 14. Równania nieliniowe 14.1.Metoda bisekcji dla równania skalarnego 14.2.Metoda Newtona 14.2.1. Modyfikacje nieużywające pochodnej 14.3.Wielowymiarowa metoda Newtona 14.3.1.Implementacja 14.3.2.Modyfikacje obniżające koszt iteracji 14.3.3.Modyfikacje nieużywające pochodnej 14.4.Zadanie punktu stałego, a równanie nieliniowe 14.4.1. Metoda Banacha (iteracja prosta) 14.5.Uwarunkowanie równania nieliniowego 14.6.Kryteria stopu. Reszta, a błąd 14.7.Dializator Rozdział 15. Optymalizacja 15.1.Metoda Newtona 15.1.1.Implementacja 15.1.2.Modyfikacje obniżające koszt iteracji 15.1.3.Modyfikacje ograniczające użycie pochodnych 15.2.Metoda spadku po gradiencie 15.2.1. Wybór długości kroku 15.3.Uwarunkowanie zadania minimalizacji 15.4.Kryteria stopu. Norma gradientu, a błąd 15.5.Nieliniowe zadanie najmniejszych kwadratów 15.5.1. Metoda Gaussa-Newtona 15.6.Gdzie ja jestem?