1. Całkowanie przez części - podejście algorytmiczne. 1.1 Wprowadzenie. 1.1.1 Uwagi techniczne. 1.2 Całkowanie przez części wybranych całek, należących do drugiego zbioru. 1.3 Uwagi o innych, istotnych (w tym alternatywnych) metodach oraz przykładach całkowania przez części. 1.3.1 Całkowanie przez części całek oznaczonych. 1.3.2 Twierdzenie o całkowaniu przez części dla całki Lebesgue’a (wzór Dirichleta). 1.3.3 Twierdzenia o całkowaniu przez części dla całki Henstocka-Kurzweila. 1.3.4 Przekształcenie Abela. Uwaga 13 - ciągi słabo monotoniczne według L. Leindlera oraz wersja kryterium Schl ̈omilcha (zobacz twierdzenie 7 z dowodem). 1.3.4.1 Twierdzenia Kałużnego. 1.3.5 Twierdzenia odwrotne do kryteriów Dirichleta i Abela dla szeregów liczbowych. 1.3.6 Wersja szeregowo-całkowa wzoru Abela . 1.3.7 Kryteria Dirichleta i Abela zbieżności całekNiewłaściwych. 1.3.8 Kryteria Dirichleta i Abela zbieżności jednostajnej całek niewłaściwych zależnych od parametru. 1.4 Zestaw wybranych zadań do ćwiczenia techniki całkowania przez części zadanie 14- stała lemniskaty i całka lemniskaty. zadanie 19- całki Fritsa Beukersa. zadanie 26- twierdzenie Abela o przejściu granicznym. zadanie 29- nierówność Fejera zadanie 30- nierówność Karamaty. zadanie 31- wzór całkowy i zależność rekursywna dla liczb Catalana. 1.5 Rozwiązania i wskazówki. 2 Całkowanie z wykorzystaniem równań funkcyjnych. 2.1 Całka związana z całką Gaussa.2.2 Pewne całki Eulera. 2.3 Zadania. zadanie 5- o miarach gaussowskich. 2.4 Rozwiązania i wskazówki. 3 Twierdzenie o całce iterowanej niewłaściwej. 3.1 Pewna wersja twierdzenia Fubiniego. 3.2 Całki Frullaniego. 3.3 Przykłady zastosowania twierdzeń 28-31. 3.4 Zadania do samodzielnego rozwiązania. 3.5 Całki Fresnela. uwaga 43 - wzór Borosa i Molla. uwaga 44 - odkrycie Erika Talvili. uwaga 45 - spiralna Cornu. 4 Reguła de l’Hospitala. 4.1 Rys historyczny. 4.2 Współczesne dowody reguły de l’Hospitala. 4.2.1 Dowód z zastosowaniem całki Riemanna. 4.2.2 Dowód Kolihy. 4.3 Kontrprzykłady do reguły de l’Hospitala. 4.3.1 Wprowadzenie. 4.3.2 Konstrukcja kontrprzykładu. 4.3.3 Dyskusja błędu. 4.4 Uogólnienia klasycznej reguły de I’Hospitala. 4.4.1 Reguła de l’Hospitala w sformułowaniu Lesława Gajka. 4.4.2 Twierdzenia Vybornego-Nestera. 4.4.3 Kontrprzykład. 4.4.4 Twierdzenia Gabora Szabó. 4.4.5 Twierdzenie Benedettiego. 4.4.6 Monotoniczna reguła de l’Hospitala. 4.4.7 Dyskretna wersja reguły de l’Hospitala, czyli twierdzenie Stolza-Ces`aro 4.4.8 Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Stolza-Ces`aro. 4.4.9 Dyskretna wersja twierdzenia. 4.4.10 Twierdzenie Stolza-Ces`aro dla ciągów zespolonych. 4.5 Problemy ogólne zadanie 7- operator różnicy progresywnej. zadanie 9- nierówności Wilkera-Anglesio. zadanie 10- nierówność Beckera-Starka-zadanie 11- wariacje nierówności Jordana. zadanie 15- twierdzenia o asymptotyce ciągu. 4.6 Rozwiązania i wskazówki. 4.7 Przykłady wyznaczania wybranych granic na podstawie reguły de l’Hospitala. 4.7.1 Granice podstawowe. 4.7.2 Granice trudniejsze. 4.8 Rozwiązania. 4.9 Reguła de l’Hospitala dla granic wielu zmiennych.